Squares and Square Roots – Part 1 & 2

---

Squares and Square Roots

1. Square Numbers

Definition: A natural number n is called a perfect square if = n = m² for some natural number m. এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা n ক বৰ্গসংখ্যা বোলা হয় যদি = n = m^{2 ,} য’ত m এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা।

Examples of Square Numbers : 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 10² = 100, So, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 100… are square numbers. সেয়ে 1, 4, 9, 16, 25, 36, 100… এইবোৰ বৰ্গসংখ্যা।

2. Properties of Square Numbers

(a) Last Digit Rule – Never Square

If a number ends in 2, 3, 7, or 8, it is never a perfect square.যদি সংখ্যাৰ শেষ অংক 2, 3, 7 বা 8 হয়, তেন্তে সেই সংখ্যা কেতিয়াও বৰ্গ নহয়।

(b) Last Digit Rule – May be Square

If a number ends in 0, 1, 4, 5, 6, or 9, it may be a perfect square. যদি সংখ্যাৰ শেষ অংক 0, 1, 4, 5, 6 বা 9 হয়, তেন্তে সেই সংখ্যা বৰ্গ হ’ব পাৰে।

(c) Even–Odd Rule

1. Square of an even number is always even. যোৰ সংখ্যাৰ বৰ্গ সদায় যোৰ হয়।


2. Square of an odd number is always odd. বিজোৰ সংখ্যাৰ বৰ্গ সদায় বিজোৰ হয়।

Ex: 6² = 36 → Even / যোৰ, 7² = 49 → Odd / বিজোৰ

(d) Zeros Rule

A perfect square always ends with an even number of zeros. এটা বৰ্গসংখ্যাৰ শেষত সদায় জোৰ সংখ্যক শূন্য (0) থাকে।

Important Trick 

1. Odd number of zeros → Not a perfect square. বিজোৰ শূন্য থাকিলে → বৰ্গ নহয়।


2. Even number of zeros → May be a perfect square. যোৰ শূন্য থাকিলে → বৰ্গ হ’ব পাৰে।

Ex: 10² = 100 , 100² = 10000, 1000 But 1000 has three zeros not a perfact square.

Revision Points

1. Square number = number of the form m². বৰ্গসংখ্যা = m² আকাৰৰ সংখ্যা।


2. Ending in 2, 3, 7, 8 → Never a square. শেষ অংক 2, 3, 7, 8 → বৰ্গ নহয়।


3. Ending in 0, 1, 4, 5, 6, 9 → May be a square. শেষ অংক 0, 1, 4, 5, 6, 9 → বৰ্গ হ’ব পাৰে।


4. Even² = Even, Odd² = Odd. যোৰ² = যোৰ, বিজোৰ² = বিজোৰ।


5. Perfect squares always have even number of zeros. বৰ্গসংখ্যাৰ শেষত সদায় জোৰ শূন্য থাকে।

3. Interesting Patterns

(A) Sum of first n odd numbers

1. The sum of first n odd natural numbers is always n². প্ৰথম n টা বিজোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় n² হয়।


2. This means adding odd numbers gives a perfect square. অৰ্থাৎ বিজোৰ সংখ্যা যোগ কৰিলে সদায় বৰ্গসংখ্যা পোৱা যায়।

Ex: 1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

(B) Numbers between two square numbers

1. Between n² and (n+1)², there are exactly 2n non-square numbers. n² আৰু (n+1)²ৰ মাজত সদায় 2n টা বৰ্গ নহোৱা সংখ্যা থাকে।


2. This helps to quickly count numbers between two squares. ই দুটা বৰ্গৰ মাজৰ সংখ্যা গণনা কৰাত সহায় কৰে।

Ex: Between 3² = 9 and 4² = 16, n = 3 → non-square numbers = 2n = 6, They are: 10, 11, 12, 13, 14, 15

4. Pythagorean Triplets

Definition :Three numbers (a, b, c) form a Pythagorean triplet if a²+b² = c² , তিনিটা সংখ্যা (a, b, c) ক পাইথাগোৰাছ ত্ৰয়ী বোলা হয় যদি a²+b² = c²

General Formula: For any integer m > 1, a triplet is (2m,  m²−1,  m²+1). যিকোনো পূৰ্ণসংখ্যা m > 1 হ’লে ত্ৰয়ী হ’ব (2m,  m²−1,  m²+1)

How to find a triplet when one number is given

1. If the given number is even, write it as 2m. যদি দিয়া সংখ্যা যোৰ হয়, তাক 2m ধৰা।


2. Find m. mৰ মান উলিয়াও।


3. Then numbers are: 2m, m² − 1, m² + 1. তাৰ পিছত সংখ্যা পাবা: 2m, m² − 1, m² + 1


4. Always check using a² + b² = c² শেষত যাচাই কৰা: a² + b² = c² 

Ex : Find a triplets whose one number is 12

Given one member = 12 
Let, 2m = 12 → m = 6 ,

2nd member m² − 1 = 6² − 1 = 36 - 1 = 35

3rd member m² + 1 = 6² + 1 = 36 + 1 = 37

Triplets is 12, 35, 37

Numbers: 12, 35, 37 
Check: 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37² (Correct)

Exam Notes

• Sum of first n odd numbers = n²
• Between n² and (n+1)² → 2n non-square numbers
• Pythagorean rule: a² + b² = c²
• General form: (2m, m² − 1, m² + 1)
• If one number is even, take it as 2m

• প্ৰথম n টা বিজোৰ সংখ্যাৰ যোগফল = n²
• n² আৰু (n+1)²ৰ মাজত 2n টা বৰ্গ নহোৱা সংখ্যা
• নিয়ম: a² + b² = c²
• সাধাৰণ ৰূপ: (2m, m² − 1, m² + 1)
• যদি সংখ্যা যোৰ হয়, তাক 2m ধৰা