Expressions & Identities (Squares & Powers). What is Integer ? : ব্যক্তি আৰু সমীকৰণ (বৰ্গ আৰু ঘাত)। পূৰ্ণ সংখ্যা কাক কয় ?

---

Reciprocal Power Identities & Half-Power Shortcut : প্ৰতিলোম ঘাতৰ সমীকৰণসমূহ & অৰ্ধ-ঘাতৰ সহজ/দ্ৰুত উপায়

Base Formula – A

If, a + 1/a = x

Then,
Square: a² + 1/a² = x² − 2

Fourth Power: a⁴ + 1/a⁴ = (x² − 2)² − 2

যদি, a + 1/a = x হয় তেন্তে, বৰ্গ: a² + 1/a² = x² − 2

চতুৰ্থ ঘাত: a⁴ + 1/a⁴ = (x² − 2)² − 2

Base Formula – B

If, aⁿ + 1/aⁿ = k

Then, aⁿᐟ² − 1/aⁿᐟ² = √(k − 2)

যদি, aⁿ + 1/aⁿ = k হয়

তেন্তে, aⁿᐟ² − 1/aⁿᐟ² = √(k − 2)

Quick Rules

Case 1

Given “+” → Required “+” : দিয়া চিহ্ন “+” → প্ৰয়োজনীয় চিহ্ন “+”
Formula: √(k + 2) : সূত্ৰ: √(k + 2)
Memory Trick: Plus → Add 2 : মেম’ৰি ট্ৰিক: Plus মানে 2 যোগ কৰক

Case 2

Given “+” → Required “−” : দিয়া চিহ্ন “+” → প্ৰয়োজনীয় চিহ্ন “−”
Formula: √(k − 2) : সূত্ৰ: √(k − 2)
Memory Trick: Minus → Subtract 2 : মেম’ৰি ট্ৰিক: Minus মানে 2 বিয়োগ কৰক

Case 3

Given “−” → Required “+” : দিয়া চিহ্ন “−” → প্ৰয়োজনীয় চিহ্ন “+”
Formula: √(k + 2) : সূত্ৰ: √(k + 2)

Case 4

Given “−” → Required “−” : দিয়া চিহ্ন “−” → প্ৰয়োজনীয় চিহ্ন “−”
Formula: √(k − 2) : সূত্ৰ: √(k − 2)

Super Shortcut Memory

Half power = √(k ± 2) : অৰ্ধ ঘাত = √(k ± 2)

Q1. If a + 1/a = 4, find a⁴ + 1/a⁴

Options: 204, 196, 198, 194

Solⁿ

a + 1/a = 4

1^st square: a² + 1/a² = 4² − 2 = 16 − 2 = 14

Again square: a⁴ + 1/a⁴ = 14² − 2 = 196 − 2 = 194

Ans: 194

Note: First square → minus 2, Again square → minus 2

Q2. If x²⁵ + 1/x²⁵ = 627, find x¹²⋅⁵ − 1/x¹²⋅⁵

Options: (a) 24 (b) 25 (c) 125 (d) 26

Solⁿ: x¹²⋅⁵ − 1/x¹²⋅⁵ = √(627 − 2) = √625 = 25

Ans: 25

Trick: Half power → √(k − 2) when required sign is minus (−)

Q3.  If x¹⁰ + 1/x¹⁰ = 194, find x⁵ + 1/x⁵

Options: (a) 12 (b) 13 (c) 14 (d) 16

Solⁿ:
x⁵ + 1/x⁵ = √(194 + 2) = √196 = 14

Ans: 14

Q4. Solve: (1/7)⁻⁴ + (1/9)⁻⁴ + (1/5)⁻⁴

Trick: (1/a)⁻ⁿ = aⁿ

= 7⁴ + 9⁴ + 5⁴
= 2401 + 6561 + 625
= 15760

Ans: 15760

Q5. What is Integer ?

Definition: An integer is a whole number which can be positive, negative, or zero, without any fractional or decimal part.

সংজ্ঞা: Integer বুলিলে সেই পূৰ্ণসংখ্যাক বুজায় যি ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হ’ব পাৰে আৰু ইয়াত কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নাথাকে।

Examples / উদাহৰণ: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …

Note:

• 0 is an integer


• Fractions & decimals are not integers

Q6. If a − 1/a = 7, find a⁵ − 1/a⁵

Options: (a) 18557 (b) 17147 (c) 14557 (d) 21107

Trick: If a − 1/a = x (x is integer), then aⁿ − 1/aⁿ must be divisible by x.

যদি a − 1/a = x হয়, তেন্তে aⁿ − 1/aⁿ x ৰে বিভাজ্য হ’ব লাগিব।

Check option (a):
18557 ÷ 7 = 2651 (Integer)

Ans: Option (a) 18557