Squares and Square Roots – Tricks with Examples

---

Squares and Square Roots – Tricks

Class 10 Students

PART–A : Tricks to find SQUARES

1) Last Digit Trick

• If a number ends in 2, 3, 7, 8 → it is never a perfect square. যদি সংখ্যাৰ শেষ অংক 2, 3, 7, 8 হয় → কেতিয়াও বৰ্গ নহয়।
• If it ends in 0, 1, 4, 5, 6, 9 → it may be a perfect square. যদি শেষ অংক 0, 1, 4, 5, 6, 9 হয় → বৰ্গ হ’ব পাৰে।

2) Even–Odd Trick

• Square of an even number is even. যোৰ সংখ্যাৰ বৰ্গ → যোৰ।
• Square of an odd number is odd.  বিজোৰ সংখ্যাৰ বৰ্গ → বিজোৰ।

3) Zeros Trick

• A perfect square always ends with an even number of zeros. বৰ্গসংখ্যাৰ শেষত সদায় জোৰ সংখ্যক শূন্য থাকে।
• Odd number of zeros → not a square. বিজোৰ শূন্য থাকিলে → বৰ্গ নহয়।

4) Square of numbers ending in 5

• Any number ending in 5 has square ending in 25. যিকোনো সংখ্যা যাৰ শেষ অংক 5, তাৰ বৰ্গ সদায় 25 ত শেষ হয়।
• Multiply the first part by the next number. আগৰ অংশ × (আগৰ সংখ্যা + 1)।

Ex: 35² → 3×4 = 12 → 1225

উদাহৰণ: 35² → 3×4 = 12 → 1225

PART–B : Tricks to find SQUARE ROOTS

5)Identify Perfect Square Trick

• If all prime factors can be paired, the number is a perfect square.  যদি মৌলিক গুণক সকলো জোৰা জোৰা হয় → সংখ্যা সম্পূৰ্ণ বৰ্গ।
• If any factor is left alone, it is not a perfect square. যদি কোনো গুণক একলগা থাকে → সংখ্যা বৰ্গ নহয়।

6) Prime Factorization Trick

• Find prime factors.
• Make pairs of equal factors.
• Take one from each pair and multiply → square root.

Ex: √324
324 = 2×2×3×3×3×3
Pairs → (2×2)(3×3)(3×3)
Take → 2×3×3 = 18 → √324 = 18

• সংখ্যাটো মৌলিক গুণক কৰা।
• সমান গুণকৰ জোৰা বনোৱা।
• প্ৰত্যেক জোৰাৰ পৰা এটা লৈ গুণ কৰা → বৰ্গমূল।

উদাহৰণ: √324 = 18

7) Estimation Trick

• Find two nearest squares. ওচৰৰ দুটা বৰ্গ বিচাৰা।
• The root lies between them. বৰ্গমূল তেওঁলোকৰ মাজত থাকে।

Ex: √50
49 < 50 < 64 → 7² < 50 < 8² → √50 ≈ 7.1

উদাহৰণ: √50 ≈ 7.1

8) Long Division Method Trick

• Make pairs of digits from right. অংকবোৰ সোঁফালৰ পৰা জোৰা কৰা।
• Find the first digit of root. প্ৰথম অংকটো উলিয়াও।
• Double the quotient to make new divisor. ভাগফল দুগুণ কৰি নতুন ভাগক বনোৱা।
• Repeat till remainder becomes zero. শূন্য অৱশিষ্ট নহোৱা পৰ্যন্ত চলাই যোৱা।

Ex: √529
5|29 → 2²=4 → remainder 1, bring 29 → 129
Double 2 → 4_ → 43×3=129 → √529 = 23

উদাহৰণ: √529 = 23

9) Decimal Square Root Trick

• If the number has 2n decimal places, the square root will have n decimal places. যদি সংখ্যাত 2n টা দশমিক অংক থাকে, তেন্তে বৰ্গমূলত n টা দশমিক স্থান থাকিব।

Ex / উদাহৰণ : √0.04 → 2 decimal places → root has 1 → 0.2

10) Exam Tips

• First check if the number is a perfect square. প্ৰথমে চিনাক্ত কৰা — সংখ্যা বৰ্গ নে নহয়।
• If yes → use prime factorization (fast). বৰ্গ হ’লে → মৌলিক গুণক পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা।
• For big/decimal numbers → use long division. ডাঙৰ/দশমিক সংখ্যা হ’লে → দীৰ্ঘ ভাগ পদ্ধতি।
• Always verify: (square root)² = given number. সদায় যাচাই কৰা: বৰ্গমূল² = মূল সংখ্যা।

Quick Revision

• Ending 2,3,7,8 → Not square. শেষ অংক 2,3,7,8 → বৰ্গ নহয়
• Perfect square → even zeros. বৰ্গসংখ্যা → জোৰ শূন্য
• Square of 5-ending number → ends in 25, 5 ৰ বৰ্গ → শেষত 25
• √529 = 23 (remember), √529 = 23 (মুখস্থ)

Part 1: Square Numbers

Ex 1: Perfect Square

Find if 49 is a perfect square. 49 বৰ্গসংখ্যা নে চাওঁ।
49 = 7 × 7 →  Perfect square বৰ্গসংখ্যা

Even/Odd Property

6² = 36 → Even যোৰ
7² = 49 → Odd বিজোৰ

Last Digit Rule

Number ending in শেষ অংক 2, 3, 7, 8 → Not a perfect square বৰ্গ নহয়
Ex: 72 → Not square বৰ্গ নহয়

Interesting Patterns & Pythagorean Triplets

Ex : Sum of first n odd numbers

1 + 3 + 5 = 9 → 3²

Numbers between squares

Between 4² = 16 and 5² = 25 
Non-square numbers = 2n = 2 × 4 = 8
Numbers: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24

4² = 16 আৰু 5² = 25ৰ মাজত
বৰ্গ নহোৱা সংখ্যা = 2n = 2 × 4 = 8
সংখ্যাবোৰ: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24

Pythagorean Triplet

Find triplet with one member 12
2m = 12 → m = 6
Triplet = 2m, m² - 1, m² + 1 → 12, 35, 37
Check: 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369 = 37²

এটা সদস্য 12
2m = 12 → m = 6
ত্ৰয়ী = 2m, m² -1, m² + 1 → 12, 35, 37
যাচাই: 12² + 35² = 37² 

Square Root by Prime Factorization

Ex: √324

324 → 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
Pairs জোৰা : (2×2), (3×3), (3×3)
Take one from each প্ৰত্যেক জোৰা এটাৰ পৰা এক  → 2 × 3 × 3 = 18
√324 = 18

Ex: √81

81 → 3 × 3 × 3 × 3
Pairs জোৰা: (3×3), (3×3)
Take one from each প্ৰত্যেক জোৰা এটাৰ পৰা এক → 3 × 3 = 9
√81 = 9

Square Root by Long Division

Ex: √529

1st : 5 | 29
2nd :  5 তকৈ সৰু বৰ্গ small square  ≤ 5 → 2² = 4
3rd : Subtract বিয়োগ 5 - 4 = 1, bring down 29 → 129
4th : Double quotient ভাগফল দুগুণ  2 × 2 = 4 → 4_
5th : Find digit অংক → 43 × 3 = 129
√529 = 23

√2025 (Decimal/Big Number)

1st : 20 | 25
2nd : small square 20 তকৈ সৰু বৰ্গ ≤ 20 → 4² = 16
3rd : Subtract বিয়োগ 20−16=4, bring down 25 → 425
4th : Double quotient ভাগফল দুগুণ 4×2=8 → 8_
5th : Find digit অংক→ 85 × 5 = 425
√2025 = 45