Real Numbers Notes: পৰিমেয় সংখ্যা (rational number) &অপৰিমেয় সংখ্যা (irrational number)

---

Rational Number & Irrational Number

1. Rational Number -পৰিমেয় সংখ্যা

 Definition | সংজ্ঞা : A rational number is a number that can be written in the form p/q​, where p and q are integers and q≠0. যি সংখ্যা p/q​ আকাৰত লিখিব পাৰি, য’ত p আৰু q পূৰ্ণসংখ্যা আৰু q≠0, তাক পৰিমেয় সংখ্যা কোৱা হয়।

Ex | উদাহৰণ : 1/2,  −3/4,  5,  0,  0.25

Properties | গুণধৰ্ম

• Rational numbers can be terminating or recurring decimals. (পৰিমেয় সংখ্যা শেষ হোৱা বা পুনৰাবৃত্ত দশমিক হ’ব পাৰে)


• Sum, difference, and product of rational numbers are always rational. (যোগ, বিয়োগ, গুণফল সদায় পৰিমেয়)


• Rational numbers can be represented on the number line. (সংখ্যাৰেখাত দেখুৱাব পাৰি)

Uses | ব্যৱহাৰ : Used in daily life like money, measurement, time, distance. দৈনন্দিন জীৱনত ধন, মাপ, সময়, দূৰত্ব আদিত ব্যৱহাৰ হয়।

2. Irrational Number | অপৰিমেয় সংখ্যা

Definition - সংজ্ঞা: An irrational number is a number that cannot be written in the form p/q where p and q are integers. যি সংখ্যা p/q​ আকাৰত লিখিব নোৱাৰি, তাক অপৰিমেয় সংখ্যা কোৱা হয়।

Ex- উদাহৰণ : √2,  √3,  √5,  π

Properties | গুণধৰ্ম

• Irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals (শেষ নোহোৱা আৰু পুনৰাবৃত্ত নোহোৱা দশমিক)


• Cannot be expressed as p/q , p/q আকাৰত লিখিব নোৱাৰি)


• Sum of a rational and an irrational number is irrational (পৰিমেয় + অপৰিমেয় = অপৰিমেয়)

Uses - ব্যৱহাৰ : Used in geometry, circle, square root, scientific calculations. জ্যামিতি, বৃত্ত, বৰ্গমূল আৰু বিজ্ঞানীয় গণনাত ব্যৱহাৰ হয়।

3. Difference between Rational and Irrational Numbers (পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য)

Rational Number (পৰিমেয় সংখ্যা)

1. Can be written as p/q​ :  p/q আকাৰত লিখিব পাৰি, য’ত p,q পূৰ্ণসংখ্যা আৰু q≠0।


2. Has terminating or recurring decimal : দশমিক ৰূপ শেষ হোৱা (terminating) বা পুনৰাবৃত্ত (recurring) হয়।


3. Examples:1/2,  3,  0.5


4. Used in daily calculations : দৈনন্দিন গণনা যেনে ধন, সময়, দূৰত্ব আদিত ব্যৱহাৰ হয়।

Irrational Number (অপৰিমেয় সংখ্যা)

1. Cannot be written as p/q​ : p/q আকাৰত লিখিব নোৱাৰি।


2. Has non-terminating, non-repeating decimal : দশমিক ৰূপ শেষ নহয় আৰু পুনৰাবৃত্ত নহয়।


3. Ex: √2,  √3,  π


4. Used in geometry and science: জ্যামিতি আৰু বিজ্ঞানীয় গণনাত ব্যৱহাৰ হয়।

Exam Tip : পাৰ্থক্য প্ৰশ্নত by point বা table form লিখিলে পূৰ্ণ নম্বৰ পোৱা সহজ হয় 

One-Line Memory Trick

• Rational = Fraction possible, পৰিমেয় = ভগ্নাংশত লিখিব পাৰি


• Irrational = Fraction not possible , অপৰিমেয় = ভগ্নাংশত লিখিব নোৱাৰি

প্ৰশ্ন.Q : যদি 2+√3/5​​ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা (irrational number) হয়, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে √3​ এটাও অপৰিমেয় সংখ্যা।

সমাধান (Solⁿ)

ধৰা যাওক,

2+√3/5​​ এটা পৰিমেয় সংখ্যা (rational number)।

যিহেতু 5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, সেয়েহে পৰিমেয় সংখ্যাৰ সৈতে পৰিমেয় সংখ্যাৰ গুণফল সদায় পৰিমেয় হয়।

অত এব, 5 x 2 + √3/5​

অৰ্থাৎ, 2 + √3​ এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

আমি জানো যে 2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা। পৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰা পৰিমেয় সংখ্যা বিয়োগ কৰিলে ফলাফল সদায় পৰিমেয় হয়।

সেয়েহে, 2 + √3 −2 = √3 এটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ব লাগিব।

কিন্তু, √3​ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

এইটো আমাৰ ধাৰণাৰ সৈতে বিৰোধ (contradiction) সৃষ্টি কৰে।

সেয়ে ধাৰণাটো ভুল।

অতএব, 2 + √3 / 5 পৰিমেয় বুলি ধৰা ধাৰণাটো ভুল।

সিদ্ধান্ত (Conclusion) : প্ৰমাণিত হ’ল যে √3 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

Exam Tip (গুরুত্বপূৰ্ণ): এইটো এটা contradiction method-ৰ প্ৰশ্ন। শেষত সদায় এই বাক্যটো লিখিবা —
“এইটো আমাৰ ধাৰণাৰ সৈতে বিৰোধ সৃষ্টি কৰে।”

Q - প্ৰশ্ন : Prove that √5​ is an irrational number. প্ৰমাণ কৰা যে 5\sqrt{5}5​ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

সমাধান (Solⁿ)

Let us assume that √5​ is a rational number. ধৰা যাওক, √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

√5​ = P/Q

where p and q are co-prime integers and q ≠ 0
য’ত p আৰু q সহমিতিহীন পূৰ্ণসংখ্যা আৰু q ≠ 0।

Squaring both sides, উভয় ফাল স্কুৱেয়াৰ কৰিলে,

                                5=p²/q²⇒p² = 5q²

So, p² is divisible by 5, hence p is divisible by 5.

ইয়াত p² 5-ৰে বিভাজ্য, সেয়েহে p 5-ৰে বিভাজ্য।

Let p = 5k
ধৰা যাওক p = 5k।

 (5k)² = 5q² ⇒ q² = 5k²

Thus, q is also divisible by 5.
ইয়াৰ পৰা q ও 5-ৰে বিভাজ্য।

This contradicts our assumption that $p$ and $q$ are co-prime.
এইটো আমাৰ ধাৰণাৰ সৈতে বিৰোধ সৃষ্টি কৰে।

Hence, the assumption is wrong. সেয়ে ধাৰণাটো ভুল।

Conclusion - সিদ্ধান্ত

Therefore, √5​ is an irrational number. অতএব, √5​ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

Exam Tip - পৰীক্ষাৰ টিপছ : write: “This contradicts our assumption.” লিখিবা: “এইটো আমাৰ ধাৰণাৰ সৈতে বিৰোধ সৃষ্টি কৰে।”