Arithmetic Progressions : গাণিতিক ধারা – Part 1) : পৰিচয়

---

What is an Arithmetic Progression (AP) গাণিতিক ধারা ?

A sequence of numbers in which the difference between any two consecutive terms is constant. This constant difference is called the common difference, denoted by ‘d’. যি সংখ্যাৰ ধাৰাত পৰস্পৰ লাগি থকা দুটা পদৰ মাজৰ পাৰ্থক্য সদায় একে থাকে, তাক গাণিতিক ধারা (AP) বুলি কোৱা হয়। এই স্থিৰ পাৰ্থক্যক সাধাৰণ পাৰ্থক্য (common difference) বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক **‘d’**ৰে প্ৰকাশ কৰা হয়।

Terms of an AP (AP-ৰ পদসমূহ)

• The first term is denoted by ‘a’. : প্ৰথম পদক **‘a’**ৰে সূচোৱা হয়।


• The common difference is ‘d’. : সাধাৰণ পাৰ্থক্যক **‘d’**ৰে সূচোৱা হয়।

General Form of an AP : AP-ৰ সাধাৰণ ৰূপ হৈছে –

a, a+d, a+2d, a+3d, ...

Ex : 1. Sequence: 2, 5, 8, 11, 14,...

First term : প্ৰথম পদ, a = 2
Common difference, সাধাৰণ পাৰ্থক্য, d = 5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, etc
So, সেয়ে,  d = 3

Ex : 2. Sequence: 10, 7, 4, 1, -2,...

First term, প্ৰথম পদ, a = 10
Common difference, সাধাৰণ পাৰ্থক্য, d = 7 - 10 = -3, 4 - 7 = -3
So, সেয়ে, d = -3

Note / টোকা

The common difference (d) can be positive, negative, or zero. সাধাৰণ পাৰ্থক্য (d) ধনাত্মক, ঋণাত্মক অথবা শূন্য হ’ব পাৰে।

Finite and Infinite AP

Finite AP : Has a limited number of terms. সীমিত সংখ্যক পদ থাকে (Ex:উদাহৰণ : 1, 3, 5, 7 )

Infinite AP : Has an unlimited number of terms. অসীম সংখ্যক পদ থাকে। উদাহৰণ Ex: 1, 3, 5, 7,...

Q 3. What is an Arithmetic Progression (AP) ? / গাণিতিক ধারা (AP) কি ?
A) A sequence with unequal differences / অসম পাৰ্থক্য থকা ধারা  B) A sequence where consecutive terms have a constant difference / য’ত লাগি থকা পদসমূহৰ পাৰ্থক্য স্থিৰ থাকে  C) A sequence of random numbers / এলোমেলো সংখ্যাৰ ধারা  D) A sequence with multiplying terms / গুণ কৰি বঢ়া ধারা

Ans: B) A sequence where consecutive terms have a constant difference / য’ত লাগি থকা পদসমূহৰ পাৰ্থক্য স্থিৰ থাকে
Explanation: The fixed difference is called the common difference (d). / এই স্থিৰ পাৰ্থক্যক সাধাৰণ পাৰ্থক্য (d) বুলি কোৱা হয়।

Q 4. What is the common difference ? / সাধাৰণ পাৰ্থক্য কি ?
A) Sum of terms / পদসমূহৰ যোগফল  B) Product of terms / পদসমূহৰ গুণফল  C) Difference between consecutive terms / পৰস্পৰ লাগি থকা পদৰ পাৰ্থক্য  D) Last term / শেষ পদ

Ans: C) Difference between consecutive terms / পৰস্পৰ লাগি থকা পদৰ পাৰ্থক্য
Explanation: It is the constant gap between two terms. / ই দুটা পদৰ মাজৰ স্থিৰ পাৰ্থক্য।

Q 5. Which letter denotes the first term of an AP ? / AP-ৰ প্ৰথম পদ কোনটো আখৰেৰে সূচোৱা হয় ?
A) d  B) n  C) a  D) x

Ans: C) a
Explanation: The first term is always represented by a. / প্ৰথম পদ সদায় aৰে প্ৰকাশ কৰা হয়।

Q 6. Which letter represents the common difference? / সাধাৰণ পাৰ্থক্য কোনটো আখৰেৰে প্ৰকাশ কৰা হয়?
A) a  B) d  C) t  D) m

Ans: B) d
Explanation: The common difference is denoted by d. / সাধাৰণ পাৰ্থক্য dৰে সূচোৱা হয়।

Q 7. What is the general form of an AP ? / AP-ৰ সাধাৰণ ৰূপ কি ?
A) a, a², a³  B) a, a+d, a+2d, a+3d,...  C) a, ad, ad²  D) a, 2a, 4a

Ans: B) a, a+d, a+2d, a+3d,...
Explanation: Each term is formed by adding d to the previous term. / প্ৰতিটো পদ আগৰ পদত d যোগ কৰি পোৱা যায়।

Q 8. Find the common difference of 2, 5, 8, 11, 14. / 2, 5, 8, 11, 14 ৰ সাধাৰণ পাৰ্থক্য বিচাৰক।
A) 2  B) 3  C) 4  D) 5

Ans: B) 3
Explanation: 5 − 2 = 3 and 8 − 5 = 3. / 5 − 2 = 3 আৰু 8 − 5 = 3।

Q 9. Find the common difference of 10, 7, 4, 1, -2. / 10, 7, 4, 1, -2 ৰ সাধাৰণ পাৰ্থক্য কিমান ?
A) -2  B) -3  C) 3  D) 0

Ans: B) -3
Explanation: 7 − 10 = -3, so the sequence decreases. / 7 − 10 = -3, সেয়ে ধাৰাটো হ্ৰাস পাইছে।

Q 10. The common difference (d) can be: / সাধাৰণ পাৰ্থক্য (d) কেনেকুৱা হ’ব পাৰে ?
A) Only positive / কেৱল ধনাত্মক  B) Only negative / কেৱল ঋণাত্মক  C) Only zero / কেৱল শূন্য  D) Positive, negative, or zero / ধনাত্মক, ঋণাত্মক অথবা শূন্য

Ans: D) Positive, negative, or zero / ধনাত্মক, ঋণাত্মক অথবা শূন্য
Explanation: It depends on whether the sequence increases, decreases, or remains constant. / ধাৰা বাঢ়ে, কমে বা একে থাকিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।

Q 11. Which of the following is a finite AP ? / তলৰ কোনটো সসীম AP ?
A) 1, 3, 5, 7  B) 2, 4, 6, 8,...  C) 5, 10, 15,...  D) 1, 2, 3,...

Ans: A) 1, 3, 5, 7
Explanation: A finite AP has a limited number of terms. / সসীম AP-ত সীমিত সংখ্যক পদ থাকে।

Q 12. Which is an infinite AP ? / কোনটো অসীম AP ?
A) 4, 8, 12  B) 1, 3, 5, 7,...  C) 6, 9, 12  D) 10, 20

Ans: B) 1, 3, 5, 7,...

Explanation: The dots (…) indicate the sequence continues forever. / “...” চিহ্নে ধাৰাটো অবিৰত চলি থকাৰ সংকেত দিয়ে।