Number System | সংখ্যা পদ্ধতি

---

First Part | প্ৰথম অংশ    Mathematics: Click Here      Ganit : Click Here

Number System | সংখ্যা পদ্ধতি

Mathematician Ramanujan (Srinivasa Ramanujan Iyengar, 1887–1920) often said, "Numbers are my friends." From the very beginning of our school life, we use numbers every day. Therefore, numbers are our familiar friends.

গণিতজ্ঞ শ্ৰীনিবাস ৰামানুজন আয়েংগাৰ (১৮৮৭–১৯২০)-এ প্ৰায়ে কৈছিল, "সংখ্যাবোৰ মোৰ বন্ধু।" বিদ্যালয় জীৱনৰ একেবাৰে আৰম্ভণিৰ পৰাই আমি প্ৰতিদিনে সংখ্যাৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। সেয়েহে সংখ্যাবোৰ আমাৰ পৰিচিত বন্ধু।

Natural Numbers | স্বাভাৱিক সংখ্যা

The numbers used for counting are called Natural Numbers. Since these numbers arise from the basic idea of counting, they are known as natural numbers.

Ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , 100, ...

The set of natural numbers is written as: {1, 2, 3, 4, 5, ...}

গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা সংখ্যাবোৰক স্বাভাৱিক সংখ্যা (Natural Numbers) বোলা হয়। গণনাৰ মৌলিক ধাৰণাৰ পৰা এই সংখ্যাবোৰৰ উৎপত্তি হোৱা বাবে ইয়াক স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলি কোৱা হয়।

উদাহৰণ: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ... , ১০০, ...

স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সমষ্টি এইদৰে লিখা হয় : {১, ২, ৩, ৪, ৫, ...}

Whole Numbers | পূৰ্ণ সংখ্যা

When the number 0 (zero) is included with the natural numbers, the new set of numbers is called Whole Numbers. স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সৈতে ০ (শূন্য) যোগ কৰিলে যি নতুন সংখ্যাৰ সমষ্টি পোৱা যায়, তাক পূৰ্ণ সংখ্যা (Whole Numbers) বোলা হয়।

The set of whole numbers is written as (পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সমষ্টি এইদৰে লিখা হয়): {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}{০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ...}

Number Line | সংখ্যা ৰেখা

With the help of a number line, we can determine the positions of whole numbers. সংখ্যা ৰেখা (Number Line)-ৰ সহায়ত আমি পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰৰ অৱস্থান সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোঁ।

Ex: 0 ─ 1 ─ 2 ─ 3 ─ 4 ─ 5 ─ ... / উদাহৰণ: ০ ─ ১ ─ ২ ─ ৩ ─ ৪ ─ ৫ ─ ...

Number Line | সংখ্যা ৰেখা

On a straight line, we first choose a fixed point and mark it as 0 (zero). Then, by marking equal distances on the right side of this point, we place 1, 2, 3, 4, .... This representation is called a number line. (এডাল সৰল ৰেখাত প্ৰথমে এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দু লৈ তাক ০ (শূন্য) হিচাপে চিহ্নিত কৰা হয়। তাৰ পিছত এই বিন্দুৰ সোঁফালে সমান দূৰত্বত ১, ২, ৩, ৪, ... চিহ্নিত কৰা হয়। এই উপস্থাপনক সংখ্যা ৰেখা (Number Line) বোলা হয়।)

Integers | পূৰ্ণাংক

The collection of numbers obtained by including negative numbers (-1, -2, -3, ...), zero (0), and positive whole numbers (1, 2, 3, ...) is called Integers. The set of integers is written as: {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. The positions of integers can be represented on the number line.

ঋণাত্মক সংখ্যা (-১, -২, -৩, ...), শূন্য (০) আৰু ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যা (১, ২, ৩, ...) একেলগে ল'লে যি সংখ্যাৰ সমষ্টি পোৱা যায়, তাক পূৰ্ণাংক (Integers) বোলা হয়।পূৰ্ণাংকৰ সমষ্টি এইদৰে লিখা হয় - {..., –৩, –২, –১, ০, ১, ২, ৩, ৪, ...} পূৰ্ণাংকসমূহৰ অৱস্থান সংখ্যা ৰেখাত দেখুওৱা যায়।

Rational Numbers | পৰিমেয় সংখ্যা

A number that can be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, is called a Rational Number. Ex: 1/2, 3/4, –5/7. Every rational number has a definite position on the number line. For example, 1/2 lies between 0 and 1.

যি সংখ্যাক p/q আকাৰত লিখিব পাৰি, য'ত p আৰু q পূৰ্ণাংক আৰু q ≠ 0, তেনে সংখ্যাক পৰিমেয় সংখ্যা (Rational Number) বোলা হয়।

উদাহৰণ: ১/২, ৩/৪, –৫/৭. প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংখ্যা ৰেখাত এক নিৰ্দিষ্ট স্থান থাকে। উদাহৰণস্বৰূপে, ১/২ সংখ্যা ০ আৰু ১-ৰ মাজত অৱস্থিত।

Irrational Numbers | অপৰিমেয় সংখ্যা

Do irrational numbers exist ? Yes.

Numbers that cannot be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, are called Irrational Numbers. Ex: √2,  √3,  π. These numbers also have definite positions on the number line.

অপৰিমেয় সংখ্যা আছে নেকি? হয়, আছে। যি সংখ্যাক p/q আকাৰত লিখিব নোৱাৰি, য'ত p আৰু q পূৰ্ণাংক আৰু q ≠ 0, তেনে সংখ্যাক অপৰিমেয় সংখ্যা (Irrational Numbers) বোলা হয়।

উদাহৰণ: √২,  √৩,  π (পাই) । এই সংখ্যাবোৰৰো সংখ্যা ৰেখাত এক নিৰ্দিষ্ট স্থান থাকে।

Real Numbers | বাস্তৱ সংখ্যা

Both rational numbers and irrational numbers can be represented on the number line. Therefore, together they are called Real Numbers. Thus, Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers.

পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা—দুয়োকে সংখ্যা ৰেখাত দেখুৱাব পাৰি। সেয়েহে এই দুয়ো প্ৰকাৰৰ সংখ্যাক একেলগে বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers) বোলা হয়। অৰ্থাৎ, বাস্তৱ সংখ্যা = পৰিমেয় সংখ্যা + অপৰিমেয় সংখ্যা

Real Numbers & Fundamental Mathematical Operations : বাস্তৱ সংখ্যা আৰু মৌলিক গাণিতিক ক্ৰিয়া

1. Real Numbers (বাস্তৱ সংখ্যা) : Real Numbers are the collection of all Rational Numbers and Irrational Numbers. (বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers) বুলিলে সকলো পৰিমেয় সংখ্যা (Rational Numbers) আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা (Irrational Numbers)-ৰ সমষ্টিক বুজায়।)

Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers (বাস্তৱ সংখ্যা = পৰিমেয় সংখ্যা + অপৰিমেয় সংখ্যা)

2. Fundamental Mathematical Operations (মৌলিক গাণিতিক ক্ৰিয়া)

The four basic mathematical operations on real numbers are: Addition (+), Subtraction (−), Multiplication (×), Division (÷) [বাস্তৱ সংখ্যাৰ ওপৰত কৰা চাৰিটা মৌলিক গাণিতিক ক্ৰিয়া হ'ল : যোগ (+), বিয়োগ (−), গুণ (×), ভাগ (÷)]

Real numbers obey certain mathematical properties. (এই ক্ৰিয়াসমূহৰ ক্ষেত্ৰত বাস্তৱ সংখ্যাই কিছুমান গাণিতিক গুণ মানি চলে।)

3. Identity Property (পৰিচয় গুণ) : a + 0 = a, 0 + a = a, a − 0 = a, 0 − a = −a, a × 1 = a, 1 × a = a, 0 ÷ a = 0 (a ≠ 0)

Remember: Division by zero (a ÷ 0) is not defined. (মনত ৰাখিবা: a ÷ 0 সংজ্ঞায়িত নহয়।)

4. Commutative Property (স্থান-বিনিময় গুণ)

• a + b = b + a


• a × b = b × a

But, কিন্তু,

• a − b ≠ b − a


• a ÷ b ≠ b ÷ a

Note: This property is true only for Addition and Multiplication. টোকা: এই গুণ কেৱল যোগ আৰু গুণ-ৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য।

5. Associative Property (সম্বন্ধ গুণ)

• a + (b + c) = (a + b) + c


• a × (b × c) = (a × b) × c

This property is not applicable to subtraction and division. এই গুণ বিয়োগ আৰু ভাগ-ৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য নহয়।

6. Distributive Property (বিতৰণ গুণ)

• a × (b + c) = a × b + a × c


• (a + b) × c = a × c + b × c

7. Indices (সূচক/ঘাত)

Repeated multiplication can be written using indices (powers). একে সংখ্যাক বাৰে বাৰে গুণ কৰিলে তাক সূচক (Indices) বা ঘাত (Powers) ব্যৱহাৰ কৰি লিখা হয়।

Examples:উদাহৰণ:

• a × a = a² (Square) (বৰ্গ)


• a × a × a = a³ (Cube) (ঘন)


• a × a × ... × a (n times) = aⁿ

Here,

• a = Base (ভিত্তি)


• n = Index (Exponent : সূচক )

8. Important Laws of Indices (সূচকৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ নিয়ম)

1. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ


2. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)


3. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ


4. a⁻ˢ = 1/aˢ


5. (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ = (aⁿ)ᵐ


6. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ


7. (abc...)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ...


8. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)


9. [(a/b)¹⁄ⁿ]ᵐ = [(a/b)ᵐ]¹⁄ⁿ

Note for Remember

• Real Numbers include both Rational and Irrational Numbers. বাস্তৱ সংখ্যা = পৰিমেয় সংখ্যা + অপৰিমেয় সংখ্যা।


• Division by 0 is not defined. ০-ৰে ভাগ কৰিব নোৱাৰি।


• Commutative and Associative properties are not applicable to subtraction and division. স্থান-বিনিময় আৰু সম্বন্ধ গুণ বিয়োগ আৰু ভাগৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য নহয়।


• Multiplication follows the Distributive Property. গুণ ক্ৰিয়াই বিতৰণ গুণ মানি চলে।


• Indices make repeated multiplication easy to write. 


• সূচকৰ সহায়ত বাৰে বাৰে কৰা গুণ সহজে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

Note | টোকা

1. Generator of Natural Numbers | স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ উৎপাদক

The first natural number is 1 (one). By repeatedly adding 1, we obtain all natural numbers. (স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ আৰম্ভণি ১ (এক)-ৰ পৰা হয়। ১-ক বাৰে বাৰে যোগ কৰিলে সকলো স্বাভাৱিক সংখ্যা পোৱা যায়।)

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 …(১ + ১ = ২, ২ + ১ = ৩, ৩ + ১ = ৪ …)

Thus, 1 is called the generator of natural numbers. (সেয়েহে ১-ক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ উৎপাদক (Generator) বোলা হয়।)

2. Even Numbers | যুগ্ম সংখ্যা

Integers such as 2, 4, 6, 8, ... are of the form 2m, where m is an integer. These numbers are called Even Numbers. (২, ৪, ৬, ৮, ... আদি পূৰ্ণাংকসমূহ 2m আকাৰৰ হয়, য'ত m এটা পূৰ্ণাংক। এই সংখ্যাবোৰক যুগ্ম সংখ্যা (Even Numbers) বোলা হয়।)

3. Odd Numbers | অযুগ্ম সংখ্যা

The integers which are not even are called Odd Numbers. Their general form is 2m + 1, where m is an integer. An integer is even if it is exactly divisible by 2; otherwise, it is odd.

যিবোৰ পূৰ্ণাংক যুগ্ম নহয়, সেইবোৰক অযুগ্ম সংখ্যা (Odd Numbers) বোলা হয়। ইয়াৰ সাধাৰণ ৰূপ 2m + 1, য'ত m এটা পূৰ্ণাংক। এটা পূৰ্ণাংক যদি ২-ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য হয়, তেন্তে ই যুগ্ম সংখ্যা; অন্যথা ই অযুগ্ম সংখ্যা।

4. Factors | উৎপাদক

If an integer can be expressed as the product of two or more integers, then those integers are called the factors of the original integer. এটা পূৰ্ণাংকক যদি দুটা বা ততোধিক পূৰ্ণাংকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, তেন্তে সেই পূৰ্ণাংকসমূহক মূল সংখ্যাটোৰ উৎপাদক (Factors) বোলা হয়।

5. Prime Numbers | মৌলিক সংখ্যা

Integers having only two different factors, namely 1 and the number itself, are called Prime Numbers. (যিবোৰ পূৰ্ণাংকৰ কেৱল দুটা ভিন্ন উৎপাদক থাকে—১ আৰু সংখ্যাটো নিজেই—সেই সংখ্যাবোৰক মৌলিক সংখ্যা (Prime Numbers) বোলা হয়।)

Ex: 2 = 1 × 2,  5 = 1 × 5,  11 = 1 × 11 (উদাহৰণ: ২ = ১ × ২, ৫ = ১ × ৫, ১১ = ১ × ১১)

From the above examples, we can define Prime Numbers as: ওপৰৰ উদাহৰণসমূহৰ পৰা আমি মৌলিক সংখ্যা (Prime Numbers)-ক এইদৰে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰোঁ -

A prime number is a number that has only two factors: 1 and the number itself. যি সংখ্যাৰ কেৱল দুটা উৎপাদক থাকে - ১ আৰু সংখ্যাটো নিজেই - তাক মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বোলা হয়।

Note | টোকা

1 = 1 × 1 (১ = ১ × ১)

The factors of 1 are 1 and itself. But 1 is not a prime number because its two factors are not different. (১-ৰ উৎপাদক হৈছে ১ আৰু সংখ্যাটো নিজেই। কিন্তু ১ মৌলিক সংখ্যা নহয়, কাৰণ ইয়াৰ দুটা উৎপাদক ভিন্ন নহয়।)

2 is the only even prime number. All other prime numbers are odd. (২-ই একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা। আন সকলো মৌলিক সংখ্যা অযুগ্ম।)

Co-prime Numbers | সহমৌলিক সংখ্যা

Two integers are called co-prime numbers if 1 is their only common factor. (দুটা পূৰ্ণাংকৰ একমাত্ৰ সাধাৰণ উৎপাদক যদি ১ হয়, তেন্তে সেই দুটা সংখ্যাক সহমৌলিক সংখ্যা (Co-prime Numbers) বোলা হয়।)

Conversion of Decimal Fraction into p/q Form (দশমিক ভগ্নাংশক p/q আকাৰলৈ ৰূপান্তৰ)

Ex 1 : Express 3.52 in the form p/q. (3.52-ক p/q আকাৰত প্ৰকাশ কৰা।)

Solution: সমাধান:

3.52 = 3 + 5/10 + 2/100

= (300 + 50 + 2)/100

= 352/100

Ex 2 : Express 3.523 in the form p/q. (3.523-ক p/q আকাৰত প্ৰকাশ কৰা।)

Solution: সমাধান:

3.523 = 3523/1000

Conversion of Repeating Decimal into p/q Form (পুনৰাবৃত্ত দশমিকক p/q আকাৰলৈ ৰূপান্তৰ)

Ex 3 :Express 0.818181... in the form p/q. (0.818181...-ক p/q আকাৰত প্ৰকাশ কৰা।)

Solution: সমাধান:

Let, ধৰা,

x = 0.818181... .......... (i)

Multiply both sides by 100, দুয়োপক্ষক 100-ৰে গুণ কৰিলে,

100x = 81.818181... .......... (ii)

Subtract (i) from (ii): এতিয়া (ii) ৰ পৰা (i) বিয়োগ কৰিলে,

100x − x = 81.818181... − 0.818181...

99x = 81

x = 81/99

= 9/11

Therefore, 0.818181... = 9/11

===============