What is a pattern ? (আৰ্হি) কি ? // Introduction to Patterns (আৰ্হিৰ পৰিচয়)

---

Chapter 1: Patterns in Mathematics (গণিতত আৰ্হি)

Introduction to Patterns (আৰ্হিৰ পৰিচয়)

Q1. What is a pattern ? প্ৰশ্ন ১: Pattern (আৰ্হি) কি ?

Solution:

A pattern is an arrangement of numbers, shapes, letters, or objects that follows a particular rule. (আৰ্হি (Pattern) হ'ল সংখ্যা, আকৃতি, আখৰ বা বস্তুৰ এনে এটা বিন্যাস, যি এটা নিৰ্দিষ্ট নিয়ম অনুসৰণ কৰে।)

Key Point: A pattern always follows a fixed rule. / মূল কথা: প্ৰতিটো আৰ্হিয়ে এটা নিৰ্দিষ্ট নিয়ম অনুসৰণ কৰে।

Ans / উত্তৰ: A pattern is an arrangement of numbers, shapes or objects that follows a particular rule. আৰ্হি হ'ল সংখ্যা, আকৃতি বা বস্তুৰ এনে এটা বিন্যাস, যি এটা নিৰ্দিষ্ট নিয়ম অনুসৰণ কৰে।

Q2. Complete the pattern: প্ৰশ্ন ২: আৰ্হিটো সম্পূৰ্ণ কৰা:

2, 4, 6, 8, __, __

Solution: Each number is obtained by adding 2. (প্ৰতিটো সংখ্যাত 2 যোগ কৰি পৰৱৰ্তী সংখ্যাটো পোৱা যায়।)

8 + 2 = 10

10 + 2 = 12

Therefore, the missing numbers are 10 and 12. (সেয়ে খালী স্থানত থাকিব 10 আৰু 12)

Ans / উত্তৰ: 10, 12

Q3. Find the rule of the pattern: প্ৰশ্ন ৩: আৰ্হিটোৰ নিয়ম বিচাৰা:

5, 10, 15, 20, 25, ...

Solution: সমাধান 

Find the difference between consecutive numbers:(কাষে কাষে থকা সংখ্যাবোৰৰ পাৰ্থক্য চাওঁ : , 10 − 5 = 5, 15 − 10 = 5, 20 − 15 = 5, 25 − 20 = 5

Since the difference is always 5, the rule is: প্ৰতিবাৰেই পাৰ্থক্য 5, সেয়ে নিয়মটো হ'ল -

নিয়ম: পৰৱৰ্তী সংখ্যা পাবলৈ 5 যোগ কৰিব লাগিব।

Rule: Add 5 to get the next number.

Ans / উত্তৰ: Add 5 to obtain the next number. (পৰৱৰ্তী সংখ্যা পাবলৈ 5 যোগ কৰিব লাগে।)

Note: Pattern: Follows a fixed rule. (এটা নিৰ্দিষ্ট নিয়ম অনুসৰণ কৰে।)

2, 4, 6, 8, 10, 12 → Rule: Add 2. নিয়ম: 2 যোগ কৰা।

5, 10, 15, 20, 25 → Rule: Add 5. নিয়ম: 5 যোগ কৰা।

Trick : Find the difference between consecutive numbers to identify the pattern. : আৰ্হিৰ নিয়ম জানিবলৈ কাষে কাষে থকা সংখ্যাবোৰৰ পাৰ্থক্য উলিয়াওক।

============================

Relations among Sequence

Q1. Add consecutive triangular numbers. প্ৰশ্ন ১: পৰস্পৰ ক্ৰমাগত ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা যোগ কৰা।

1 + 3, 3 + 6, 6 + 10

Solution / সমাধান:

1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16

Therefore, we obtain 4, 9, 16. These are square numbers. সেয়ে আমি পাওঁ – 4, 9, 16। এইবোৰ বৰ্গ সংখ্যা (Square Numbers)।

Ans / উত্তৰ: 4, 9, 16

Key Point / মূল কথা: Consecutive triangular numbers added together always form square numbers. (পৰস্পৰ ক্ৰমাগত ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা যোগ কৰিলে সদায় বৰ্গ সংখ্যা পোৱা যায়।)

Q2. Add powers of 2. প্ৰশ্ন ২: 2-ৰ ঘাতসমূহ যোগ কৰা।

1 + 2 + 4 + 8

Solution / সমাধান:

1 + 2 + 4 + 8 = 15

Adding 1:

15 + 1 = 16 = 2⁴

1 + 2 + 4 + 8 = 15, এতিয়া 1 যোগ কৰিলে, 15 + 1 = 16 = 2⁴

Ans / উত্তৰ: 15

Key Point / মূল কথা: The sum of consecutive powers of 2, plus 1, gives the next power of 2. (2-ৰ ক্ৰমাগত ঘাতসমূহৰ যোগফলত 1 যোগ কৰিলে পৰৱৰ্তী 2-ৰ ঘাত পোৱা যায়।)

Q3. Find the next number. প্ৰশ্ন ৩: পৰৱৰ্তী সংখ্যাটো বিচাৰা।

1, 7, 19, 37, ___

Solution / সমাধান:

Find the differences / পাৰ্থক্য উলিয়াওঁ—

7 − 1 = 6

19 − 7 = 12

37 − 19 = 18

The differences increase by 6 each time. প্ৰতিবাৰ পাৰ্থক্য 6 কৈ বৃদ্ধি পাইছে।

Next difference / পৰৱৰ্তী পাৰ্থক্য: 18 + 6 = 24, 37 + 24 = 61

Ans / উত্তৰ: 61

Note: When the differences follow a pattern, first find the next difference and then add it to the last number. (যদি পাৰ্থক্যসমূহে এটা আৰ্হি অনুসৰণ কৰে, তেন্তে প্ৰথমে পৰৱৰ্তী পাৰ্থক্য উলিয়াই শেষৰ সংখ্যাত যোগ কৰিব লাগে।)

Trick / কৌশল : First find the difference between consecutive numbers. Most number patterns become easy to identify : প্ৰথমে কাষে কাষে থকা সংখ্যাবোৰৰ পাৰ্থক্য উলিয়াওক। বেছিভাগ সংখ্যা-আৰ্হি এইদৰেই সহজে চিনাক্ত কৰিব পাৰি।

===========================================

Adding Numbers Up and Down (ওপৰলৈ আৰু তললৈ সংখ্যা যোগ কৰা)

Q1. Find: প্ৰশ্ন ১: মান উলিয়াওক।

1 + 2 + 1

Solution / সমাধান:

1 + 2 + 1 = 4

Since, যিহেতু 4 = 2²

Ans / উত্তৰ: 4 (= 2²)

Key Point / মূল কথা: Adding numbers up to 2 and back to 1 gives the square of 2. (2 লৈকে সংখ্যা যোগ কৰি পুনৰ 1লৈ আহিলে 2-ৰ বৰ্গ (2²) পোৱা যায়।)

Q2. Find: প্ৰশ্ন ২: মান উলিয়াওক।

1 + 2 + 3 + 2 + 1

Solution / সমাধান:

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9

Since, যিহেতু 9 = 3²

Ans / উত্তৰ: 9 (= 3²)

Key Point / মূল কথা: Adding numbers up to 3 and back to 1 gives the square of 3. (3 লৈকে সংখ্যা যোগ কৰি পুনৰ 1লৈ আহিলে 3-ৰ বৰ্গ (3²) পোৱা যায়।)

Q3. Find: প্ৰশ্ন ৩: মান উলিয়াওক।

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

Solution / সমাধান:

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16

Since, যিহেতু 16 = 4²

Ans / উত্তৰ: 16 (= 4²)

Note: Adding numbers up to 4 and back to 1 gives the square of 4. (4 লৈকে সংখ্যা যোগ কৰি পুনৰ 1লৈ আহিলে 4-ৰ বৰ্গ (4²) পোৱা যায়।)

General Rule / সাধাৰণ নিয়ম : If you add numbers from 1 to n and then back down to 1, the sum is n².(যদি 1ৰ পৰা nলৈ সংখ্যা যোগ কৰি পুনৰ 1লৈ নামি আহে, তেন্তে মুঠ যোগফল n² হয়।)

1 + 2 + ⋯ + n + (n − 1) + ⋯ + 2 + 1 = n² 

Trick / কৌশল : Go up to n, come back to 1 → Answer = n². : সংখ্যাবোৰ n লৈকে উঠি পুনৰ 1লৈ নামিলে → উত্তৰ = n².

============================================

Sum of Odd Numbers (বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল)

Q1. Find: প্ৰশ্ন ১: মান উলিয়াওক।

1 + 3 + 5

Solution / সমাধান:

1 + 3 + 5 = 9

Since, যিহেতু 9 = 3²

Ans / উত্তৰ: 9 (= 3²)

Note: The sum of the first 3 odd numbers is 3². (প্ৰথম ৩টা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল = 3²।)

Q2. Find: প্ৰশ্ন ২: মান উলিয়াওক।

1 + 3 + 5 + 7

Solution / সমাধান:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Since, যিহেতু  16 = 4²

Ans / উত্তৰ: 16 (= 4²)

Note: The sum of the first 4 odd numbers is 4². প্ৰথম ৪টা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল = 4²।

Q3. Find the sum of the first 10 odd numbers. প্ৰশ্ন ৩: প্ৰথম ১০টা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল উলিয়াওক।

Solution / সমাধান:

Rule / নিয়ম: The sum of the first n odd numbers is n². প্ৰথম nটা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল = n²।

Here, n = 10

10² = 100

Ans / উত্তৰ: 100

General Rule / সাধাৰণ নিয়ম : The sum of the first n odd numbers is n². : প্ৰথম nটা বিজোড় সংখ্যাৰ যোগফল = n²।

Trick / কৌশল : Count the odd numbers, then square the count : কেইটা বিজোড় সংখ্যা আছে গণনা কৰক, তাৰ পিছত সেই সংখ্যাটোৰ বৰ্গ কৰক।

==================================